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  Dinámica de estructuras
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  UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS. FACULTAD TECNOLÓGICA. INGENIERÍA CIVIL DINAMICA DE ESTRUCTURAS. DOCENTE: ING. RODOLFO FELIZZOLA CONTRERAS. ESTUDIANTE: JAIRO ANDRES ESTUPIÑAN CAMERO (20162579131) RESPUESTA DINÁMICA DE UNA ESTRUCTURA Un sistema de un grado de libertad es sometido a una aceleración en la base que generan las fuerzas descritas por la Ilustración 1. Debe encontrarse la respuesta en términos de desplazamiento para cualquier tiempo t    para un sistema con una masa m  de 10 Kg y una rigidez K de 9.87 N/m , el tiempo de duración de la aceleración es de 2s. Ilustración 1. Fuerzas producidas por la aceleración en la base. Se deben analizar dos (2) situaciones, las cuales son las descritas a continuación:    Sin Amortiguamiento.    Con amortiguamiento, tomando un valor de ξ=5%.   SOLUCIÓN    SIN AMORTIGUAMIENTO.   Primeramente se calcula la frecuencia natural del sistema (ω), así:    =     -200-150-100-5005010015020000.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.21.31.41.51.61.71.81.92    F   u   e   r   z   a    (   K   N    ) Tiempo (s) t Vs F     =  9.8710 = 0.9935   Con el dato de la frecuencia natural se calcula ahora el periodo del sistema (T)  = 2    = 20.9935 = 6.3244    Ahora, se debe escoger un intervalo de integración, lo recomendado por la literatura especializada es escoger un intervalo Δτ   ≤ T/20, ahora bien, para el caso puntual del sistema analizado este dato (T/20 ), corresponde a: Δ = 20 = 6.324420 = 0.3162  Una vez estipulado la relación T/20, se decide adoptar un intervalo de integración de 0.1s, donde se observa que es menor al recomendado por varios autores. Para el cálculo de la respuesta dinámica en términos de amplitudes en cualquier tiempo t, se hace uso de la integral de convolución, la cual es la siguiente:   = ∫  = ∫    (  )   Para la solución de esta integral, se hace uso de la regla de Simpson, la cual se resume de la siguiente manera:    =  −  + Δ3 −  + 4 −  +        = 2,4,6,8,…  Donde:      : Resultado de la integral, en metros.    Δ : Intervalo de integración.     : Masa del sistema en Kg.     : Frecuencia natural del sistema, en Rad/s.      : Resultado de la multiplicación de la fuerza y el coseno y seno, según corresponda De manera análoga se debe calcular y utilizar el término   el cual se calcula de forma similar al término   , en esta expresión el valor de   cambia en tanto que este es el producto entre la magnitud de la fuerza y el seno de ωt . Ahora, para calcular los desplazamientos en cualquier instante de tiempo t, se usa la siguiente expresión:     = sinΔ∙     cosΔ∙        Donde:       : Amplitud del sistema, en metros.      : Resultado de la integral, en metros.      : Resultado de la integral, en metros.     : Frecuencia natural del sistema, en Rad/s.    ∆ : Intervalo de integración. En la Tabla 1 se presentan los datos iniciales y aquellos calculados a partir de estos, para conocer las respuestas dinámicas en cada tiempo t. Tabla 1. Datos iniciales y calculados. Datos Iniciales Datos Calculados Dato Valor Unidades Dato Valor Unidades m 10 Kg ω  0.9935 rad/s K 9.87 N/m T 6.3244 s t a  2.00 s Δτ  0.10 s Δτ/3mω  0.0034 s 2 /Kg  A continuación se presenta la Tabla 2 que muestra los resultados obtenidos: Tabla 2. Resultados obtenidos. Z Z N t (s) F (N) Cos ωt   Sen ωt   F Cos ωt   F Sen ωt  C n (m) S n (m) X n (m) 0 0.0 0.0 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 0.1 30000.0 1.00 0.10 29852.07 2975.54 2 0.2 60000.0 0.98 0.20 58819.49 11843.45 597.99 79.67 39.93 3 0.3 90000.0 0.96 0.29 86032.15 26428.56 4 0.4 120000.0 0.92 0.39 110648.84 46441.73 2321.22 629.92 317.51 5 0.5 150000.0 0.88 0.48 131871.17 71484.23 6 0.6 120000.0 0.83 0.56 99304.63 67369.06 4795.48 1971.16 1061.01 7 0.7 90000.0 0.77 0.64 69099.75 57664.76 8 0.8 60000.0 0.70 0.71 42026.38 42822.70 6197.06 3114.79 2241.19 9 0.9 30000.0 0.63 0.78 18785.90 23389.95 10 1.0 0.0 0.55 0.84 0.00 0.00 6590.19 3572.38 3572.38 11 1.1 -30000.0 0.46 0.89 -13799.32 -26637.92 12 1.2 -60000.0 0.37 0.93 -22178.42 -55750.50 6330.57 3027.82 4763.00 13 1.3 -90000.0 0.28 0.96 -24809.20 -86513.02 14 1.4 -120000.0 0.18 0.98 -21474.82 -118062.83 5851.15 1283.57 5526.99 15 1.5 -150000.0 0.08 1.00 -12073.66 -149513.30 16 1.6 -120000.0 -0.02 1.00 2252.23 -119978.86 5624.61 -1521.71 5595.06 17 1.7 -90000.0 -0.12 0.99 10605.88 -89372.90 18 1.8 -60000.0 -0.22 0.98 12945.32 -58586.85 5817.94 -3320.30 4964.54    Z Z N t (s) F (N) Cos ωt   Sen ωt   F Cos ωt   F Sen ωt  C n (m) S n (m) X n (m) 19 1.9 -30000.0 -0.31 0.95 9346.20 -28506.99 20 2.0 0.0 -0.40 0.91 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 3899.46 21 2.1 0.0 -0.49 0.87 0.00 0.00 22 2.2 0.0 -0.58 0.82 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 2640.99 23 2.3 0.0 -0.66 0.76 0.00 0.00 24 2.4 0.0 -0.73 0.69 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 1278.60 25 2.5 0.0 -0.79 0.61 0.00 0.00 26 2.6 0.0 -0.85 0.53 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -134.10 27 2.7 0.0 -0.90 0.44 0.00 0.00 28 2.8 0.0 -0.94 0.35 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -1541.52 29 2.9 0.0 -0.97 0.26 0.00 0.00 30 3.0 0.0 -0.99 0.16 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -2888.29 31 3.1 0.0 -1.00 0.06 0.00 0.00 32 3.2 0.0 -1.00 -0.04 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -4121.40 33 3.3 0.0 -0.99 -0.14 0.00 0.00 34 3.4 0.0 -0.97 -0.23 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -5192.33 35 3.5 0.0 -0.94 -0.33 0.00 0.00 36 3.6 0.0 -0.91 -0.42 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -6058.94 37 3.7 0.0 -0.86 -0.51 0.00 0.00 38 3.8 0.0 -0.81 -0.59 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -6687.14 39 3.9 0.0 -0.74 -0.67 0.00 0.00 40 4.0 0.0 -0.67 -0.74 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -7052.19 41 4.1 0.0 -0.60 -0.80 0.00 0.00 42 4.2 0.0 -0.51 -0.86 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -7139.73 43 4.3 0.0 -0.43 -0.90 0.00 0.00 44 4.4 0.0 -0.33 -0.94 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -6946.33 45 4.5 0.0 -0.24 -0.97 0.00 0.00 46 4.6 0.0 -0.14 -0.99 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -6479.58 47 4.7 0.0 -0.04 -1.00 0.00 0.00 48 4.8 0.0 0.06 -1.00 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -5757.86 49 4.9 0.0 0.16 -0.99 0.00 0.00 50 5.0 0.0 0.25 -0.97 0.00 0.00 5986.81 -3899.46 -4809.57 De igual forma en la Ilustración 2 se muestra la representación gráfica de las amplitudes, según la variación del tiempo.
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