Junio06 CNS

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  junio 2006
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   Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. Matemáticas II. Junio 2006.OPCIÓN A1. Se consideran las matrices      11121A    y      20031B     donde    es un número real.a) Encontrar los valores de    para los que la matriz AB tiene inversa. [1,5 puntos] b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema           bazyx A  compatible determinado con A lamatriz del enunciado?. [1 punto] SOLUCIÓN. a)              112321 2003111121BA       . BA   tiene inversa cuando 0BA   :    0232232321 112321 22              2 ,  21 531! 3        . #ue$o %a &atriz BA   tiene inversa para 2y 21     b) 'o puede ser%o. #a &atriz A tiene un ran$o &(xi&o de 2 y e% n&ero de inc*$nitas es de 3. 2. alcular los valores de a y b para que la !unci n ax bx)x+    ten#a como as$ntota vertical la recta 2x    ycomo as$ntota %orizontal la recta 3y   . &azonar si para 2a    y 3 b    la !unci n )x+,   tiene al#ún m$nimorelativo.  [2,5 puntos] SOLUCIÓN.   -ara ue 2x    sea una as/ntota vertica% de %a unci*n, debe ser 2a    pues   2x bx %/& 2x  -ara ue 3y    sea una as/ntota orizonta% debe ser 3)x+  %/& x    y eso ocurre cuando 3 b    pues 32xx3 %/& x           x 02x!2xx32x3 )x+   2xx3)x+  22   #a unci*n no tiene extre&osre%ativos.1  3.   a) 'tilizando el cambio de variable x et    , calcular    dxe x ex  [1,5 puntos]  b) alcular 20x xxsen%/&  [1 punto] SOLUCIÓN. a) dxedt et xx  . e tiene: 4e4edtedxeedxe xxx ettexex      b)   01x1xcos %/& 00xxsen%/& 0x#20x 4.   alcular la distancia entre las rectas r y s, donde  63z61y262x :r  y  62z 631y 61x :s SOLUCIÓN. 7studie&os %a posici*n re%ativa de %as dos rectas:   1,1,2u    es un vector direcciona% de r y   2,3,1v    unvector direcciona% de s   %as rectas no son para%e%as puesto ue sus coordenadas no son proporciona%es.  3,1,2A  es un punto de r y   ,1,1B    un punto de s   1,2,3AB   8ea&os si %os vectores ABy v,u  son o no %inea%&ente independientes:    091 !2! 123231112  %os vectores son %inea%&ente dependientes  %as rectas est(n en un &is&o p%ano y, por tanto, se cortan      0s,r d    2   Pruebas de Aptitud para el Acceso a la Universidad. Matemáticas II. Junio 2006OPCIÓN B1.   Sea la matriz      22222 a bab baabababaA a) Sin utilizar la re#la de Sarrus, calcular el determinante de dic%a matriz. [1,5 puntos] b) Estudiar el ran#o de A en el caso en que a b   . [1 punto] SOLUCIÓN. a) 222)2+2222)1+22222  b ba b b1aa b b ba bababaaa bab baabababa    2222  baa     -ropiedades ap%icadas: +1) y +2) sacar actor co&n a a; en %a pri&era co%u&na y en %a pri&era i%a. +3) 1312 < b< , < b<     +) y +5) =esarro%%o por %os e%e&entos de %a pri&era co%u&na  b) -ara a b   , %a &atriz A es:      222222222 aaaaaaaaa  y co&o %os tres vectores i%a son %inea%&ente dependientes,e% ran$o de %a &atriz es 1. 2  .  (a !unci n      ,0:      de!inida por  9xsi  x32x9x0 si ax )x+,  2  es continuaen    ,0 .a) allar el valor de a que %ace que esta a!irmaci n es cierta. [0,5 puntos] b) alcular  100 dx)x+  [1,5 puntos]3  SOLUCIÓN. a) 7% nico punto de posib%e discontinuidad est( en 9x   . -ara ue %a unci*n sea continua en >% debe ser: +x)%/&+x)%/& 9x9x     9a !9a 99a  9x32x %/&,+x)%/&  a9ax%/&)x+, %/& 29x9x9x9x      b) -uesto ue ay un ca&bio de deinici*n de %a unci*n en 9x   :    10990100 dx,+x)dx,+x)dx,+x) 4a%cu%e&os %as pri&itivas:     32321 x3223x9dxx9dxx9            )x%n1!xx 21dxx1!xdxx32x 22 e tiene:   ! #$ ! #$  1092109903290100 x%n1!xx 21x32dxx32x dx9xdx+x) 1! 32%n320!!%n1!2!3129%n1!3232!%n1!05021! 32      3.    Descomponer el número * en dos sumandos positivos de manera que la suma del cubo del primer sumando m+s el cuadrado del se#undo sea m$nima. [2,5 puntos] SOLUCIÓN. ean x y x9    %os dos su&andos. #a unci*n ue debe ser &/ni&a es:   !x1!xxx9x)x+  2323  39 x, 2 x  !12!1 !2!1 22x 01!x2x3)x+  2     0+2) 2x!)x+   para 2x    %a unci*n es &/ni&a.#os dos su&andos son: 2 y ! 4.   a) Estudiar si son linealmente independientes los vectores       1,1,1cy 1,1,0 b ,2,1,3a  . Epresar el vector   1,0,0v    como combinaci nlineal de cy  b ,a . [1,5 puntos]
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