Introduccion historica a la probabilidad

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  Introducción historica a la probabilidad
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  UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTADDE CIENCIASEscuela de MatemáticasProbabilidadesProfesor: José Benito Hernández Chaudary¿Cuán probable es eso? La aproximación racional al azar El crecimiento de las matemáticas en el siglo XX y principios del XXI ha sido explosivo. Sehan descubierto más nuevas matemáticas en los últimos 100 años queen toda la historia anteriorde la humanidad. Esbozar someramente estos descubrimientos requeriría miles de páginas, asíque nos vemos forzados a examinar unos pocos ejemplos de entre la enorme cantidad de materialdisponible.Unarama delas matemáticas especialmentenovedosaes la teoríade la probabilidad, que estu-dia las probabilidades asociadas a sucesos aleatorios. Son la matemáticas de la incertidumbre. Lasépocas anteriores escarbaron la superficie, con cálculos combinatorios de posibilidades en juegosde azar y métodos para mejorar la precisión de las observaciones astronómicas pese a los erroresobservacionales, pero sólo a comienzos delsiglo XX emergió la teoríade probabilidades como unadisciplina por sí misma. 1. La Teoría de probabilidades Hoy día, la teoría de probabilidades es un área mayor de las matemáticas, y su ala aplicada,la estadística, tiene un efecto importante en nuestra vida cotidiana, posiblemente más importantequecualquierotraáreaindividualdelasmatemáticas.Laestadísticaesunadelasprincipalestécni-cas analíticas de la profesión médica. Ningún medicamento sale al mercado, y ningún tratamientose permite en un hospital, a menos que los ensayos clínicos hayan asegurado que es suficiente-mente seguro y que es efectivo. La seguridad es aquí un concepto relativo; en casos de pacientesextremadamente graves pueden utilizarse tratamientos cuya escasa probabilidad de éxito no loshace aconsejables para enfermedades menos dañinas.La teoría de probabilidades quizá es también el área de las matemáticas peor entendida y peorutilizada. Peroutilizada adecuadaeinteligentemente,contribuyedeformaimportantealbienestarhumano. 2. Juegos de probabilidad Algunas cuestiones probabilísticas se remontan a la antigüedad. En la Edad Media encon-tramos estudios sobre las posibilidades de sacar números diversos al lanzar dos dados. Para vercomo funciona esto, empecemos con un dado. Suponiendo que el dado no está cargado -lo queresulta ser un concepto difícil de establecer- cada uno de sus seis números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 deberíasalir  a la larga , con la misma frecuencia. A corto plazo, la igualdad es imposible: por ejemplo, enla primera tirada debe salir sólo uno de esos números. Pero en una larga serie de lanzamientos, o ensayos , esperamos que cada número salga aproximadamente una vez de cada seis; es decir, conprobabilidad 1/6. Si esto no sucediera, el dado estaría con toda probabilidad cargado o sesgado.1  Un suceso de probabilidad 1 es  seguro , y uno con probabilidad 0 es imposible. Todas las prob-abilidad están entre 0 y 1, y la probabilidad de un suceso representa la proporción de ensayos enlos que ocurre el suceso en cuestión.Volvamos a la pregunta medieval. Supongamos que lanzamos dos dados simultáneamente(como en numerosos juegos desde los dados de Monopoly). ¿Cuál es la probabilidad de su sumasea 5? El resultado de numerosos estudios, y algunos experimentos, es que la respuesta es 1/9.¿Por qué? Supongamos que distinguimos los dos dados, coloreando uno de azul y el otro de rojo.Cada dado puede dar independientemente seis números distintos, lo que da un total de 36 paresde números posibles, todos igualmente probables. Las combinaciones (azul + rojo) que dan 5 son1 + 4, 2 + 3, 3 + 2 y 4 + 1; son casos distintos porque el dado azul da resultados distintos en cadacaso, y lo mismo hace el dado rojo. Por ello, a largo plazo esperamos encontrar una suma de 5 encuatro ocasiones de 36, una probabilidad de 4/36  =  1/9.Otro problema antiguo, con una evidente aplicación práctica es como dividir la apuestas en un juego de azar si el juego se interrumpe poralguna razón. Los algebristas del Renacimiento,  Pacioli,Cardano  y  Tartaglia , escribieron sobre la cuestión. Más tarde el Caballero de Meré planteó a  Pascal la misma pregunta, y  Pascal  y  Fermat  intercabiaron varias cartas sobre el tema.De estetrabajo inicial salió una comprensión implícita de lo que sonlas probabilidades y cómocalcularlas. Pero todo estaba muy confuso y mal definido. 3. Combinaciones Una definición operativa de la probabilidad de un suceso es la proporción de ocasiones en quesucederá.Silanzamos undado,y las seiscaras sonigualmenteprobables, entoncesla probabilidadde que salga una cara concreta es 1/6. Mucho trabajo anterior sobre probabilidades se basaba encalcular de cuántas maneras podía ocurrir un suceso y dividirlas por el número total de posibili-dades.Un problema básico aquí es el de las combinaciones. Dado, digamos, un mazo de seis cartas,¿cuántos conjuntos diferentes de cuatro cartas hay? Un método consiste en hacer la lista de talessubconjuntos: si las cartas son 1 − 6, entonces son1234 1235 1236 1245 12461256 1345 1346 1356 14562345 2346 2356 2456 3456demodoquehay15.Peroestemétodofalla paranúmerosgrandes,ynecesitaalgomássistemático.Imaginemosqueescogemoslos miembros delsubconjunto,deuno enuno.Podemosescogerelprimerodeseismaneras,elsegundodesólocinco(puestoqueunoyaestádescartado),eltercerodecuatro maneras, el cuarto de tres maneras. El número total de elecciones, en este orden, es 6 × 5 × 4 × 3  =  360. Sinembargo,cada subconjuntosecuenta24 veces:además de1234 encontramos1243,2134 y demás, y hay 24 maneras de reordenar cuatro objetos. Por lo tanto, la respuesta correcta es360/24, que es igual a 15. Esteargumentomuestraque elnúmero de maneras de escoger m  objetosde entre un total de  n  objetos es   nm   =  n ( n − 1 ) ... ( n − m  + 1 ) 1 × 2 × 3 ×···× m Estas expresiones se llaman  coeficientes binomiales , porque también aparecen en álgebra. Si2  los disponemos en una tabla, de modo que la  n -ésima fila contiene los coeficientes binomiales   n 0   n 1   n 2  ...   nn  entonces el resultado es el siguiente: En la sexta fila vemos los números 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Com-parémoslo con la fórmula ( x  + 1 ) 6 =  x 6 + 6 x 5 + 15 x 4 + 20 x 3 + 15 x 2 + 6 x  + 1y vemos que los mismos números aparecen como coeficientes. Esto no es una coincidencia.El triángulo de números de denomina  Triángulo de Pascal  porque fue estudiado por Pascalen 1655. Sin embargo, era conocido mucho antes; se remonta a aproximadamente el año 950 enun comentario sobre un antiguo libro indio llamado  Chandas Sastra . También era conocido por losmatemáticos persas  Al-Karaji  y  Omar Khayyam , y se conoce como el  triángulo de Khayyam  en elIrán moderno. 4. Teoría de la probabilidad Los coeficientes binomiales se utilizaban con buen efecto en el primer libro sobre probabili-dades: el  Ars Conjectandi  (Arte de conjeturar) escrito por  Jakob Bernoulli  en 1713. El curioso títulose explica en el libro: ”Definimos el arte de la conjetura, o arte estocástico, como el arte de evaluarlo más exactamente posible las probabilidades de las cosas, de modo que en nuestros juicios y ac-ciones podamos siempre basarnos en lo que se ha encontrado que es lo mejor, lo más apropiado,lo más seguro, lo más aconsejable; éste es el único objeto de la sabiduría del filósofo y la prudenciadel gobernante”. Por eso, una traducción más precisa podría se  El Arte de la Conjetura .3  Bernoullidabaporsupuestoqueunnúmerocadavezmayordeensayosllevaba aestimacionesde la probabilidad cada vez mejores. ”Supongamos que, sin saberlo nosotros, hay ocultas en unaurna 3.000 bolitas blancas y 2.000 bolitas negras, y para tratar de determinar los números de estas bolitassacamosunabolitadetrásdeotra(volviendoameterdenuevolabolita...)yqueobservamoscon qué frecuencia sacamos una bolita blanca y con que frecuencia sacamos una bolita negra ...¿Puede hacerse esto tan a menudo que se haga diez, cien, mil veces, etc., más probable ... que losnúmeros de bolitas blancas y negras escogidas estén en la misma razón 3:2 que las bolitas en laurna, y no una razón diferente?”AquíBernoulliplanteaba unapreguntafundamental, y también inventóunejemplo ilustrativoestándar,eldelasbolasenurnas.Evidentementecreíaqueunarazón3:2eraelresultadorazonable,aunquetambiénreconocíaquelosexperimentosrealessóloseaproximaríanaestarazón.Perocreíaque con suficientes ensayos esta aproximación se haría cada vez mejor.Aquíse planteaunadificultad que impidió el avance dela disciplina duranteuntiempo.Enunexperimento semejante es ciertamente posible que por puro azar todas las bolitas sacadas fueran blancas. Por lo tanto, no hay ninguna garantía férrea de que la razón deba tendersiempre a 3:2. Lomás que podemosdeciresque,conmuy alta probabilidad, los númerosdeberíanacercarse a dicharazón.Peroahorahayunpeligrodelógicacircular: utilizamos razonesobservadasenensayosparainferir probabilidades, pero también utilizamos probabilidades para realizar la inferencia. ¿Cómopodemosobservarque la probabilidad deque todaslas bolitas seanblancas esmuy pequeña?Silohacemos con montones de ensayos, tenemos que hacer frente a la posibilidad de que el resultadosea equívoco, por la misma razón; y parece que la única salida es hacer aún más ensayos paramostrarqueestesucesoesaltamente poco probable. Estamosatrapadosenlo quese parecemuchoa un regreso infinito.Por fortuna, los primeros investigadores en teoría de probabilidades no permitieron que es-ta dificultad lógica les detuviera. Como en el caso del cálculo infinitesimal, ellos ”sabía” lo quequerían hacer y cómo hacerlo. La justificación filosófica era menos interesante que calcular lasrespuestas.El libro de Bernoulli contenía una riqueza de ideas y resultados importantes. Uno, la  Ley delos Grandes Números , decía exactamente en qué sentido las razones de largas observaciones enensayos corresponden a probabilidades. Básicamente demuestra que la probabilidad de que larazónno seaproxime mucho a la probabilidad correctatiendea cero cuandoel númerodeensayosaumenta sin límite.Otro teoremabásico puedeverseentérminosdelanzamientos repetidosdeunamonedasesga-da, con una probabilidad  p  de salir cara y  q  =  1 −  p  de salir sello. Si la moneda se lanza dos veces,¿cuál es la probabilidad de que salgan exactamente 2, 1 o 0 caras? La respuesta de Bernoulli era  p 2 ,2  pq y q 2 .Estossonlostérminosqueapareceneneldesarrollode (  p + q ) 2 comoera  p 2 + 2  pq + q 2 .Del mismo modo, si la moneda se lanza tres veces, las probabilidades de 3, 2, 1 o 0 caras son lostérminos sucesivos en  (  p  +  q ) 3 =  p 3 + 3  p 2 q  + 3  pq 2 +  q 3 .Más en general, si la moneda se lanza  n  veces, la probabilidad de sacar exactamente  m  caras esigual a   nm   p m q n − m el término correspondiente en el desarrollo de  (  p  +  q ) n .Entre 1730 y 1738  Abraham De Moivre  extendió el trabajo de Bernoulli a monedas sesgadas.Cuando  m  y  n  son grandes es difícil calcular los coeficientes binomiales exactamente, y De Moivrededujo una fórmula aproximada que relaciona la  distribución binomial  de Bernoulli con lo que4
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