capitulo 4

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    CAPÍTULO 4  ANÁLISIS DE SISTEMAS DE 1 GDL CON MÉTODOS NUMÉRICOS RESUMEN El Método   de Newmark, es un clásico para encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad sometido a cualquier tipo de fuerza dinámica, sea esta pulsos o el caso más importante la acción sísmica expresada mediante un registro de aceleraciones. Además de ello todavía se lo utiliza no solo en el análisis lineal de estructuras sino también en el análisis no lineal, con alguna variante. Por este motivo es que se inicia el capítulo deduciendo las ecuaciones del Método   de Newmark, para tres casos de variación de la respuesta de aceleraciones que son: lineal, constante y escalonada. En base a estos resultados se generaliza la respuesta con la variable   Se aplica primero el Método   de Newmark al caso en que la fuerza arbitraria viene definida por pulso; se compara la respuesta con la solución exacta estudiada en el capítulo anterior. Posteriormente se realizan varios ejemplos con pulsos rectangulares y triangulares. Después se halla la respuesta en el tiempo de una estructura que es modelada como un sistema de un grado de libertad, ante la componente N-S, obtenido en Manta en un perfil de suelo C, del terremoto del 16 de abril de 2016. Se encuentra la respuesta en el tiempo y también los valores máximos en valor absoluto. En el Anexo A, se presentan algunos datos sismológicos del terremoto de Ecuador de 2016 y los epicentros, con sus áreas de ruptura de sismos registrados en la costa norte de Ecuador, desde inicios del siglo XX, se observa que en términos redondos cada 20 años se produce un sismo de magnitud mayor a 7, en la costa norte. Esta realidad se debe contrarrestar con el diseño eficiente de las estructuras. Para ese diseño eficiente se necesita contar con registros sísmicos de movimientos fuertes de tectónica y condiciones de suelo similares a lugar del Proyecto, por esta razón se presenta los mecanismos focales y epicentros de sismos interfase registrados en Ecuador (2) y en Perú (4). Se indica en una tabla los nombres de los archivos que contienen los registros de aceleración del suelo.   ANÁLISIS DE SISTEMAS DE 1 GDL CON MÉTODOS NUMÉRICOS 110 4.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL El Método   de Newmark, es un clásico para encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad, que se estudiará en este apartado, y de   grados de libertad, que se verá en otro capítulo posterior. Si =1/6 , la variación de la aceleración de la respuesta es de tipo lineal, como se ilustra en la figura 4.1. Antes de proceder a la deducción numérica del método, conviene indicar la ecuación diferencial del movimiento, en el rango elástico, para el caso general es:  ̈  ̇  =  Donde: ,,  son la masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de un grado de libertad;   es la carga que actúa en el sistema; ,, ̇̈ , son el desplazamiento, velocidad y aceleración. Se destaca que tanto   como ,, ̇̈  son funciones del tiempo  . Dependiendo de la forma de Q se puede pensar en tener una solución analítica exacta, si es que es factible pero para el caso sísmico lo más fácil es pensar en una solución aproximada que se cumpla únicamente en ciertos puntos discretos, en este caso la ecuación (4.1) toma la forma siguiente:  ̈    ̇      =    Para el tiempo discreto 1 , se tiene:  ̈ +   ̇ +    + =  +  Si se resta estas dos últimas ecuaciones se tiene:  Δ̈  Δ̇  Δ= Δ  Donde: Δ̈= ̈ + ̈   Δ̇=̇ + ̇   Δ= +    Δ= +     Figura 4.1 Deducción del Método de Aceleración Lineal Para el caso de aceleración lineal, se debe determinar la ecuación de la recta de la figura 4.1, para cuando el tiempo   ≤ ≤ + . Sea    la pendiente de esta recta. (Lamar, 1981).   = Δ̈Δ= ̈ + ̈   +     La ecuación de una recta que pasa por un punto dado es: (4.1) (4.2) (4.3)   ROBERTO AGUIAR FALCONI 111 ̈̈  = Δ̈Δ       ̈=̈   Δ̈Δ      Al integrar la ecuación (4.4) entre el tiempo    y un tiempo cualquiera   que se encuentre dentro del intervalo indicado en la figura 4.1, se tiene: ̈ =̈     Δ̈Δ                ̇̇  =̈      Δ̈Δ      2  Para el tiempo = +  se tiene: ̇ + ̇  =̈   +     Δ̈Δ  +      2 Δ̇= ̈   Δ Δ̈ Δ2  Ahora, al integrar la ecuación (4.5) se obtiene: en primer lugar la ecuación que proporciona el desplazamiento para el intervalo   ≤ ≤ + ; luego se halla el desplazamiento en 1  y finalmente el incremento de desplazamientos Δ . ̇= ̇       ̈       Δ̈Δ      2           = ̇      ̈       2Δq̈Δ      6  El desplazamiento en =1  vale:  +    = ̇   Δ ̈   Δ  2 Δ̈ Δ  6  De donde: Δ= ̇   Δ ̈   Δ  2 Δ̈ Δ  6  Ahora al reemplazar los incrementos de velocidad y desplazamiento en la ecuación (4.2) se tiene:  Δ̈  ̈   Δ Δ̈2 Δ  ̇   Δ ̈   Δ  2 Δ̈ Δ  6= Δ    2 Δ  Δ  6Δ̈= Δ Δ ̈    ̇   Δ ̈  2 Δ   (4.4) (4.5) (4.6) (4.7)   ANÁLISIS DE SISTEMAS DE 1 GDL CON MÉTODOS NUMÉRICOS 112 Sea  ∗  la masa equivalente del sistema, definida de la siguiente manera:  ∗ = 2 Δ  Δ  6  Por otro lado, sea Δ ∗  el vector que contiene al incremento de cargas. Δ ∗ = Δ Δ ̇   ̈   Δ  2  Δ  De donde el incremento de aceleración se halla dividiendo el incremento de carga para la masa equivalente del sistema. Δ̈= Δ ∗  ∗      Procedimiento de cálculo i. Se determina la masa equivalente del sistema  ∗    ∗ = 2 Δ  Δ  6  ii. Se halla el incremento de carga Δ ∗   Δ ∗ = Δ Δ ̇  ̈    Δ  2  Δ   Δ= +     .  iii. Se calcula el incremento de aceleraciones Δ̈   Δ̈= Δ ∗  ∗  iv. Se encuentra el incremento de velocidad Δ̇   Δ̇= ̈   Δ Δ̈ Δ2  v. Se determina el incremento de desplazamiento Δ= ̇   Δ ̈   Δ  2 Δ̈ Δ  6  vi. Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en  +    + =    Δ ̇ + =̇   Δ̇ ̈ + = ̈   Δ̈  vii. Los valores obtenidos en el tiempo  +   se asignan a    para el siguiente ciclo   =  +  ̇  =̇ +  ̈  = ̈ +  (4.8) (4.9) (4.10)
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