capitulo 1

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  Un grado de libertad
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    CAPÍTULO 1 VIBRACIÓN LIBRE EN SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD RESUMEN Con el propósito de despertar el interés, en el estudio de vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad, se presenta el marco teórico y en los Anexos se indican vivencias prácticas del autor de este libro. Así, cuando se analizan los cuatro casos que se dan al resolver la ecuación diferencial de vibración libre, en función del factor de amortiguamiento, que son: sin amortiguamiento; sub amortiguada; críticamente amortiguado y sobre amortiguado; se hacen varios ejercicios y en uno de ellos se analiza la respuesta de un sistema con dos factores de amortiguamiento, donde claramente se ve que se disminuye las vibraciones cuando se tiene mayor amortiguamiento. Se aprovecha de los resultados de este último ejercicio para indicar que la tendencia actual del diseño y reforzamiento sísmico, es construir estructuras con aisladores sísmicos o con disipadores de energía y en los Anexos A y B se presentan una gran cantidad de fotografías y figuras relacionados con la construcción de los nuevos edificios de la Universidad de Fuerzas Armadas ESPE, con estos dispositivos de control pasivo. Posteriormente se estudia el caso de resortes en serie y en paralelo, tema fundamental en Dinámica de Estructuras y así mismo se presenta aplicaciones en el análisis de un aislador pendular de doble curvatura y en el estudio de disipadores de energía colocados sobre diagonales de acero, para explicar este tema con más detalle se presenta el Anexo C. Este capítulo se ha visto enriquecido con los aportes realizados por: Enrique Morales, graduado de Ph.D, en la Universidad de Buffalo; y de Pablo Caiza, graduado de Ph.D, en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign; quienes al retornar a la ESPE, me entregaron las notas de sus clases de Dinámica de Estructuras, de los deberes que hicieron y de los exámenes que rindieron. Este material ha sido recogido en este capítulo y en los siguientes. Es importante presentar nuevos desarrollos tecnológicos por eso se indica un aislador pendular ortotrópico que salió al mercado en los últimos cinco años en Chile. De igual forma es fundamental dar a conocer resultados de investigaciones realizadas a nivel mundial sobre el cálculo del factor de amortiguamiento en edificios de hormigón armado y de acero, sin dejar de lado el trabajo clásico de Newmark y Hall.   VIBRACIONES LIBRES EN SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 2 1.1 VIBRACIONES LIBRES En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y vibración forzada. En el primer caso, la estructura vibra debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad; en la figura 1.1 se indica el modelo numérico de cálculo; en la parte superior izquierda se tiene un resorte que tiene una rigidez k   como se aprecia en la posición (1), se ha notado por P.I. a la posición inicial. El resorte que tiene comportamiento lineal representa la elasticidad del sistema. Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición (2) en que coloca la masa del sistema m  sobre el resorte, se lo hace de tal manera que el sistema no vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad    y ahora la Posición Inicial P.I., pasa a la Posición de Equilibrio Estático que se ha llamado P.E.E. En la posición (2) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:   k gm     Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre . En la posición (3) se ha colocado el amortiguador c  que entrará en funcionamiento cuando el sistema se encuentre en movimiento. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la velocidad. En (3) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo 0  t  , la masa se desplaza una cantidad    con una velocidad ̇  . Si existe velocidad la masa se desplaza hacia abajo, antes de regresar. (1.1)   ROBERTO AGUIAR FALCONI 3 Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera   se mide a partir de P.E.E. Finalmente en (4) se presenta una posición genérica del movimiento en la que se ha colocado que la fuerza en el resorte vale     hacia arriba, el peso del sistema vale    hacia abajo, la fuerza en el amortiguador  ̇  hacia arriba y la fuerza inercial  ̈  hacia arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:     ̇  ̈ –=0   Al sustituir (1.1) en ésta última ecuación, se tiene:  ̈  ̇  =0   Donde ,,,  son la masa, amortiguamiento y rigidez del sistema de 1 gdl; ,̇,,  ̈  son el desplazamiento, velocidad y aceleración, del sistema; son las variables a determinar de la solución de la ecuación diferencial homogénea (1.2). Se conoce que la frecuencia natural n W  , frecuencia   , y el período de vibración T  , vale:   =   =  2  =1 = 2    Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento    como: k mc 2     Si la ecuación diferencial (1.2) se divide para m  se tiene: 0 2...   qW qmcq n  Al multiplicar y dividir el término c/m por mk  2  y al utilizar la ecuación (1.4) se tiene: n W mmk mk cmc   222   Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es: ̈2     ̇    =0   1.1.1 Solución de la ecuación diferencial Se plantea la solución de la ecuación diferencial (1.5) de la siguiente forma: t  eat q     )(  Donde a  es una constante de integración y    es una variable a determinar. Al derivar la ecuación (1.6) con respecto al tiempo y reemplazar en (1.5) se tiene: ̇=      ̈=       (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.6)   VIBRACIONES LIBRES EN SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 4 Al reemplazar en la ecuación diferencial, se tiene:    0202 2222  nnt t nt nt  W W ea eaW eaW ea              Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del paréntesis sea cero. 1244202 222222             nnnnnnn W W W W W W W   Las raíces de    dependen del valor de    ya que el radical puede ser positivo, cero o negativo. Por lo que se tienen 4 casos de solución dependiendo del valor de   , los mismos que se resuelven a continuación. León (1981); Aguiar (1981). 1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento En este caso 0    , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando indefinidamente. Al ser 0     las raíces que se obtienen de (1.7) son: 1  n W     Luego la solución es: =cos        Pero la suma de dos armónicos es otro armónico de la forma: =       =         =/  Siendo    el ángulo desfase y   la amplitud máxima, que se calculan con las condiciones iniciales. Se deja al lector la deducción de la ecuación 1.8, a partir de la suma de los dos armónicos.    EJEMPLO 1  Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s. Determinar además la amplitud máxima   y el ángulo de desfase  . Indicar que es el ángulo de desfase. =0   =2 ; ̇  =10 /   (1.7) (1.8)
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