Teoría de bandas

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  Teoría de bandas La idea central que subyace en la descripción de la estructura electrónica de los sólidos metálicos es la de que los electrones de valencia de cada átomo se distribuyen a través de toda la estructura. Este concepto se expresa, de una manera más formal, haciendo una simple extensión de la Teoría de Orbitales Moleculares, en la que el sólido se trata como molécula infinitamente larga. Estos principios pueden también aplicarse a la descripción de sólidos no metálicos como los sólid
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  Teoría de bandas La idea central que subyace en la descripción de la estructura electrónica delos sólidos metálicos es la de que los electrones de valencia de cada átomo se distribuyen através de toda la estructura. Este concepto se expresa, de una manera más formal, haciendouna simple extensión de la Teoría de Orbitales Moleculares, en la que el sólido se trata comomolécula infinitamente larga. Estos principios pueden también aplicarse a la descripción desólidos no metálicos como los sólidos iónicos o los sólidos moleculares. Formación de la banda mediante el solapamiento orbital. El solapamiento de un gran número de orbitales atómicos conduce a un conjunto de orbitalesmoleculares que se encuentran muy próximos en energías y que forman virtualmente lo quese conoce como una banda. Las bandas se encuentran separadas entre sí mediante espaciosenergéticos a los que no les corresponde ningún orbital molecular (Figura 2). Figura 2. La estructura electrónica de un sólido se caracteriza por la existencia de bandas de orbitales. Para poder visualizar la formación de una banda considérese una distribución lineal deátomos (sólido unidimensional), separados todos a la misma distancia (a), en los que cadaátomo posee un orbital de tipo s. Cada orbital de tipo s de un átomo solapará con el orbital sdel átomo vecino. Así, si sólo hubiera dos átomos en el conjunto el solapamiento conduciría ala formación de 2 orbitales moleculares, uno de enlace y otro de antienlace. Si tenemos 3átomos, el solapamiento de los 3 orbitales de tipo s srcinaría la formación de 3 orbitales  moleculares, de enlace, de no enlace y de antienlace. A medida que se van añadiendoátomos al conjunto cada uno contribuye con su orbital molecular al solapamiento y enconsecuencia se obtiene un nuevo orbital molecular. Así, cuando el conjunto está formadopor N átomos se obtienen N orbitales moleculares. El orbital molecular de menor energía nopresenta ningún nodo entre los átomos vecinos, mientras que el orbital molecular de mayorenergía presenta un nodo entre cada par de átomos vecinos.Los restantes orbitales van teniendo sucesivamente 1, 2, 3... nodos internucleares y susenergías están comprendidas entre la del orbital más enlazante (de menor energía) y la delmás antienlazante (mayor energía). La diferencia de energía entre los N orbitalesmoleculares es tan pequeña que se forma una banda o continuo de niveles de energía. Laanchura total de la banda depende de la fuerza de la interacción entre los orbitales atómicosde los átomos vecinos, de forma que, cuanto mayor sea la interacción, mayor será elsolapamiento entre los orbitales y mayor será la anchura de la banda resultante (oseparación entre el orbital molecular más enlazante y el más antienlazante). La anchura deuna banda es, por lo general, una medida del grado de localización del enlace. Una bandaestrecha representa un alto grado de localización de un enlace y a medida que se vahaciendo más ancha los enlaces se hacen más deslocalizados. Figura 3. Formación de una banda de orbitales moleculares. La banda que se ha descrito se ha formado a partir del solapamiento de orbitales s y sedenomina, por tanto, banda s (Figura 4). Si en los átomos existen orbitales de tipo pdisponibles, éstos pueden solapar srcinando una banda p (Figura 5). Como los orbitales pposeen mayor energía que los orbitales s de la misma capa, se observa a menudo la  separación entre la banda s y la banda p. Pero si las bandas son anchas y las energías de losorbitales s y p de la misma capa no difieren mucho entonces ambas bandas se solapan(Figura 6). Este solapamiento es el responsable de que los elementos del grupo 2 de la TablaPeriódica tengan un comportamiento metálico. De la misma forma, la banda d está formadapor el solapamiento de orbitales atómicos d. Figura 4. Orbitales moleculares y banda s.Figura 5. Orbitales moleculares y banda p.  Figura 6. (a) y (b) Bandas s y p, que pueden solapar o no, dependiendo de la anchura. (c) Niveles ocupados y nivel deFermi a o K. El nivel de Fermi A la temperatura T = 0 K los electrones ocupan los orbitales moleculares que forman labanda siguiendo el principio de construcción citado en la lección 2. Si cada átomo del modelo(distribución lineal de átomos) contribuye a la banda s con 1 electrón entonces, a T = 0 K lamitad de los orbitales que forman la banda (1/2 N) estarán ocupados. El orbital molecular demayor energía que se encuentra ocupado se conoce como el nivel de Fermi y, en este caso,estará situado en el centro de la banda. La banda de menor energía que se encuentraocupada o semiocupada se conoce como banda de valencia. La banda de menor energía quese encuentra vacía se conoce como la banda de conducción.A una temperatura superior a 0 K, la población de los orbitales moleculares que forman labanda, P, viene dada por la distribución de Fermi-Dirac, que es una versión de la distribuciónde Boltzmann, y que tiene en cuenta que cada nivel de energía de la banda sólo puede estarocupado por 2 electrones como máximo. Esta distribución P tiene la siguiente forma:P = 1/(e (E-μ)/kT + 1)donde μ es el potencial químico o energía del nivel para el cual P = 1/2. La forma de ladistribución de Fermi-Dirac se muestra en la Figura 7. Cuando la banda no estácompletamente ocupada los electrones que se encuentran próximos al nivel de Fermipueden, fácilmente, promocionarse a niveles vacíos que se encuentran inmediatamente porencima de éste. Como resultado, los electrones gozan de movilidad y pueden moverselibremente a través del sólido. Este fenómeno srcina que la sustancia sea un buen conductoreléctrico. Como se ha visto, en un metal la conductividad eléctrica disminuye con la
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